题目内容
设P是边长为2
的正△ABC内的一点，x，y，z是P到三角形三边的距离，则
+
+
的最大值为
| 3 |
| x |
| y |
| z |
3
3
．分析：根据正三角形的性质，可得点P到三角形三边的距离之和等于它的高，可得x+y+z=3，由此结合柯西不等式加以计算，即可得到
+
+
的最大值．
| x |
| y |
| z |
解答：解：正三角形的边长为a=2
，可得它的高等于
a=3
∵P是正三角形内部一点
∴点P到三角形三边的距离之和等于正三角形的高，即x+y+z=3
∵（
+
+
）2=（1×
+1×
+1×
）2≤（1+1+1）（x+y+z）=9
∴
+
+
≤3，当且仅当x=y=z=1时，
+
+
的最大值为3
故答案为：3
| 3 |
| ||
| 2 |
∵P是正三角形内部一点
∴点P到三角形三边的距离之和等于正三角形的高，即x+y+z=3
∵（
| x |
| y |
| z |
| x |
| y |
| z |
∴
| x |
| y |
| z |
| x |
| y |
| z |
故答案为：3
点评：本题给出边长为2
的正三角形内一点P，求P到三边的距离的算术平方根之和的最大值，着重考查了正三角形的性质和柯西不等式等知识，属于中档题．
| 3 |
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