Question

已知数列{a_n} 的前n项和S_n ，且S_n=

1

3

（a_n-1）（n∈N^*）．
（1）求a₁，a₂，a₃；
（2）求证：数列{a_n} 是等比数列．

Answer 1

分析：（1）利用数列递推式，代入计算，可得结论；
（2）再写一式，两式相减，即可证明数列{a_n}是等比数列．

解答：（1）解：∵S_n=

1

3

（a_n-1），
∴S₁=

1

3

（a₁-1），∴a₁=-

1

2

；
∵S₂=

1

3

（a₂-1），∴a₂=

1

4

；
∵S₃=

1

3

（a₃-1），∴a₃=-

1

8

；
（2）证明：∵S_n=

1

3

（a_n-1），
∴S_n-1=

1

3

（a_n-1-1），
两式相减：a_n=

1

3

（a_n-a_n-1），
∴当n≥2时，

an

an-1

=-

1

2

，
∴数列{a_n}是等比数列．

点评：本题考查数列递推式，考查等比数列的证明，考查学生的计算能力，属于中档题．