Question

（2012•枣庄二模）已知函数f(x)=x-

a

x

(a∈R)，g（x）=lnx．
（Ⅰ）求函数F（x）=f（x）+g（x）的单调区间；
（Ⅱ）若关于x的方程

g(x)

x

=f(x)恰有两个不等的实根，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（I）求导，令导数大于零，对a分情况讨论，根据一元二次不等式的解的情况，即可求得结论；
（II）关于x的方程

g(x)

x

=f(x)恰有两个不等的实根，等价于G（x）=x²-lnx-a有零点，利用导数工具，将问题转化为求函数的最值问题，即可求得结论．

解答：解：（Ⅰ）函数F（x）的定义域为（0，+∞）F′(x)=1+

a

x2

+

1

x

=

x2+x+a

x2

…（1分）
①当a≥0时，F'（x）＞0，F（x）的单调增区间为（0，+∞），无单调减区间   …（3分）
②当a＜0时，方程x²+x+a=0的两根为x1=

-1- 1-4a

2

，x2=

-1+ 1-4a

2

当x∈(0，

-1+ 1-4a

2

)时，F'（x）＜0
当x∈(

-1+ 1-4a

2

，+∞)时，F'（x）＞0
综上所述，a≥0时，F（x）的单调增区间为（0，+∞），无单调减区间a＜0时，F（x）的单调增区间为(

-1+ 1-4a

2

，+∞)，单调减区间为(0，

-1+ 1-4a

2

)…（6分）
（Ⅱ）

g(x)

x

=f(x)?

lnx

x

=x-

a

x

?lnx=x2-a?x2-lnx-a=0…（7分）
令G（x）=x²-lnx-a，则G（x）的定义域为（0，+∞），
G′(x)=2x-

1

x

=

2x2-1

x

，G′(x)＜0?0＜x＜

1

2

，G′(x)＞0?x＞

1

2

所以G（x）在(0，

1

2

)上单调递减，在(

1

2

，+∞)上单调递增     …（10分）
G（x）_min=G(

1

2

)=

1

2

+

1

2

ln2-a＜0
所以a的取值范围是(

1

2

+

1

2

ln2，+∞)…（12分）

点评：掌握导数与函数单调性的关系，会熟练运用导数解决函数的极值与最值问题．考查了计算能力和分析解决问题的能力，体现了分类讨论和转化的数学思想．