Question

如图，在直角三角形ABC中，，D为BC的中点，，，以A、B为焦点的椭圆经过点C。

（I）建立适当的直角坐标系，求椭圆的方程；

（II）是否存在不平行于AB的直线l与（I）中椭圆交于不同两点M、N，使？若存在，求出直线l斜率的取值范围；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（I）以AB所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，则

。

设椭圆方程为，，于是解得，

所求椭圆方程为。  

（II）条件等价于

若存在符合条件的直线，该直线的斜率一定存在，否则与点D（0，）不在x轴上矛盾。

可设直线l：

由   得

由得。 

设的中点为Q，

则。

，即。

解得：          

（将点的坐标代入亦可得到此结果）

由，得

存在满足条件的直线，其斜率的取值范围是。