Question

如图，在直角三角形ABC中，∠BAC=90°，D为BC的中点，|AB|=2

3

，|AC|=

1

2

，以A、B为焦点的椭圆经过点C．
（I）建立适当的直角坐标系，求椭圆的方程；
（II）是否存在不平行于AB的直线l与（I）中椭圆交于不同两点M、N，使(

DM

+

DN

)•

MN

=0？若存在，求出直线l斜率的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（I）以AB所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，则A(-

3

，0)，B(

3

，0)，C(-

3

，

1

2

)，D(0，

1

4

)．
由此可推出所求椭圆方程为

x2

4

+y2=1．
（II）由题设知|

DM

|=|

DN

|，设直线l：y=kx+m（k≠0），

y=kx+m x2 4 +y2=1

得（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0，再由根的判别式和根与系数的关系可知存在满足条件的直线l，其斜率的取值范围是(-

143

2

，0)∪(0，

143

2

)．

解答：解：（I）以AB所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，则A(-

3

，0)，B(

3

，0)，C(-

3

，

1

2

)，D(0，

1

4

)．
设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，c=

3

，于是

3 a2 + 1 4b2 =1 a2-b2=3

解得

a2=4 b2=1

，
∴所求椭圆方程为

x2

4

+y2=1．（6分）
（II）∵条件(

DM

+

DN

)•

MN

=0等价于|

DM

|=|

DN

|
∴若存在符合条件的直线，该直线的斜率一定存在，否则与点D（0，

1

4

）不在x轴上矛盾．
∴可设直线l：y=kx+m（k≠0）
由

y=kx+m x2 4 +y2=1

得（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0
由△=64k²m²-4（1+4k²）（4m²-4）＞0得4k²+1＞m²．（10分）
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），MN的中点为Q（x₀，y₀），
则x0=

x1+x2

2

=-

4km

1+4k2

，y0=kx0+m=

m

1+4k2

．
∵|

DM

|=|

DN

|，∴

y0- 1 4

x0

=-

1

k

，即

m 1+4k2 - 1 4

- 4km 1+4k2

=-

1

k

．
解得：m=-

1

12

(1+4k2)（12分）
（将点的坐标代入(

DM

+

DN

)•

MN

=0亦可得到此结果）
由4k²+1＞m²，4k2+1＞

1

144

(1+4k2)得4k²＜143
∴k∈(-

143

2

，0)∪(0，

143

2

)
∴存在满足条件的直线l，其斜率的取值范围是(-

143

2

，0)∪(0，

143

2

)．（14分）

点评：本题考查圆锥曲线的综合运用，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的灵活运用．