题目内容

如图，在直角三角形ABC中，∠BAC=90°，D为BC的中点， $数学公式$ ， $数学公式$ ，以A、B为焦点的椭圆经过点C．
（I）建立适当的直角坐标系，求椭圆的方程；
（II）是否存在不平行于AB的直线l与（I）中椭圆交于不同两点M、N，使 $数学公式$ ？若存在，求出直线l斜率的取值范围；若不存在，请说明理由．

解：（I）以AB所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，则 $\text{[math]}$ ．
设椭圆方程为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，于是 $\text{[math]}$ 解得 $\text{[math]}$ ，
∴所求椭圆方程为 $\text{[math]}$ ．（6分）
（II）∵条件 $\text{[math]}$ 等价于 $\text{[math]}$
∴若存在符合条件的直线，该直线的斜率一定存在，否则与点D（0， $\text{[math]}$ ）不在x轴上矛盾．
∴可设直线l：y=kx+m（k≠0）
由 $\text{[math]}$
得（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0
由△=64k²m²-4（1+4k²）（4m²-4）＞0得4k²+1＞m²．（10分）
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），MN的中点为Q（x₀，y₀），
则 $\text{[math]}$ ．
∵ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ．
解得： $\text{[math]}$ （12分）
（将点的坐标代入 $\text{[math]}$ 亦可得到此结果）
由4k²+1＞m²， $\text{[math]}$ 得4k²＜143
∴ $\text{[math]}$
∴存在满足条件的直线l，其斜率的取值范围是 $\text{[math]}$ ．（14分）
分析：（I）以AB所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，则 $\text{[math]}$ ．
由此可推出所求椭圆方程为 $\text{[math]}$ ．
（II）由题设知 $\text{[math]}$ ，设直线l：y=kx+m（k≠0）， $\text{[math]}$ 得（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0，再由根的判别式和根与系数的关系可知存在满足条件的直线l，其斜率的取值范围是 $\text{[math]}$ ．
点评：本题考查圆锥曲线的综合运用，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的灵活运用．