Question

（2012•陕西）如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，CA=CC₁=2CB，则直线BC₁与直线AB₁夹角的余弦值为（　　）

• A．

  5

  5

• B．

  5

  3

• C．

  2 5

  5

• D．

  3

  5

Answer 1

分析：根据题意可设CB=1，CA=CC₁=2，分别以CA、CC₁、CB为x轴、y轴和z轴建立如图坐标系，得到A、B、B₁、C₁四个点的坐标，从而得到向量

BC1

与

AB1

的坐标，根据异面直线所成的角的定义，结合空间两个向量数量积的坐标公式，可以算出直线BC₁与直线AB₁夹角的余弦值．

解答：解：分别以CA、CC₁、CB为x轴、y轴和z轴建立如图坐标系，
∵CA=CC₁=2CB，∴可设CB=1，CA=CC₁=2
∴A（2，0，0），B（0，0，1），B₁（0，2，1），C₁（0，2，0）
∴

BC1

=（0，2，-1），

AB1

=（-2，2，1）
可得

BC1

•

AB1

=0×（-2）+2×2+（-1）×1=-3，且

|BC1|

=

5

，

|AB1|

=3，
向量

BC1

与

AB1

所成的角（或其补角）就是直线BC₁与直线AB₁夹角，
设直线BC₁与直线AB₁夹角为θ，则cosθ=|

BC1 • AB1

|BC1| •|AB1|

|=

5

5

故选A

点评：本题给出一个特殊的直三棱柱，求位于两个侧面的面对角线所成角的余弦之值，着重考查了空间向量的坐标运算和异面直线及其所成的角的概论，属于基础题．