Question

【题目】已知函数.

（1）若，求函数的图像在点处的切线方程；

（2）当时，函数恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）。

【解析】试题分析：（1）求出,求出的值可得切点坐标，求出的值，可得切线斜率，利用点斜式可得曲线在点处的切线方程；（2）首先根据首先，初步判断，再证明存在唯一根 ，且函数在上单调递减，在上单调递增，函数的最小值为，只需即可，又满足，代入上式即可证明.

试题解析：（Ⅰ）若，则，

当时， ， ，

当时， ，

所以所求切线方程为

（Ⅱ）由条件可得，首先，得，

而，

令其为， 恒为正数，所以即单调递增，

而， ，所以存在唯一根 ，

且函数在上单调递减，在上单调递增，

所以函数的最小值为，只需即可，

又满足，代入上式可得

,

即： 恒成立，所以