Question

已知数列的首项，．

（1）求证：数列为等比数列；

(2) 记，若，求最大的正整数．

（3）是否存在互不相等的正整数，使成等差数列且成等比数列，如果存在，请给出证明；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）∵，∴，…………………………………1分

且∵，∴， …………………………………………2分

∴数列为等比数列． …………………………………………………………3分

（2）由（1）可求得，∴．…………………………4分

，……6分

若，则，∴．………………………………………8分

（3）假设存在，则， ……………………………9分

∵，∴．………………………10分

化简得：，……………………………………………………………11分

∵，当且仅当时等号成立．………………………12分

又互不相等，∴不存在． ……………………………………………………13分