Question

在数列中，已知，，，，数列的前项和为，数列的前项和为，且满足，，其中为正整数.

(1)求数列的通项公式；

(2)问是否存在正整数，，使成立？若存在，求出所有符合条件的有序实数对，若不存在，请说明理由.

Answer 1

(1) ， (2)

【解析】

试题分析：(1) 由和项与通项的关系，化简得到数列的递推关系：当时， ，两式相减得，从而得到数列为隔项成等差，又，可解得 ，同理因为，所以所以数列成公比为的等比数列，所以

(2)先根据等比数列和项公式得：，代入化简繁分数并部分分离得：，取倒数要明确数的性质：即，从而可解得

试题解析：(1) 因为 ，所以当时，，两式相减得，又 也适合， 2分

当时，，两式相减得， 4分

所以数列的奇数项成公差为2的等差，偶数项也成公差为2的等差

又，可解得 6分

因为，所以

又，所以数列成公比为的等比数列

所以 8分

(2) 因为，所以 10分

由得 12分

化简得：

14分

故，符合条件的有序实数对为 16分

考点：由数列和项求通项，数列综合应用