题目内容

已知函数f（x）在x=1处可导，且
lim
t→0
f(1+3t)-f(1)
2t
=1，则f′（1）=
2
3
2
3
．
分析：变形使之符合导数的定义
lim
△→0
f(1+△)-f(1)
△
=f′（1），求出即可．
解答：解：∵函数f（x）在x=1处可导，且
lim
t→0
f(1+3t)-f(1)
2t
=1，
则
lim
t→0
f(1+3t)-f(1)
(1+3t)-1
×
3
2
=1，
∴
3
2
f′(1)=1，
∴f′(1)=
2
3
．
故答案为
2
3
．
点评：充分理解导数的定义式是解题的关键．
练习册系列答案
相关题目
已知函数f（x）=x-ln（x+a）．（a是常数）
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当y=f（x）在x=1处取得极值时，若关于x的方程f（x）+2x=x2+b在[0.5，2]上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围；
（Ⅲ）求证：当n≥2，n∈N+时(1+
1
22
)(1+
1
32
)…(1+
1
n2
)＜e．
已知函数f（x）在x=1处的导数为3，f（x）的解析式可能为（　　）
已知函数f（x）=loga
1-mxx-1
是奇函数．（a＞0，且a≠1）
（1）求m的值；
（2）判断f（x）在区间（1，+∞）上的单调性并加以证明．
（3）当a＞1，x∈（r，a-2）时，f（x）的值域是（1，+∞），求a与r的值．
已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x∈（-∞，0]时，f（x）=e-x-ex2+a，则函数f（x）在x=1处的切线方程为（　　）
已知函数f（x）=x2+（x-1）|x-a|．
（1）若a=-1，解方程f（x）=1；
（2）若函数f（x）在R上单调递增，求实数a的取值范围；
（3）是否存在实数a，使不等式f（x）≥2x-3对一切实数x∈R恒成立？若存在，求出a的取值范围，若不存在，请说明理由．

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