Question

已知函数f（x）=log_a

1-mx

x-1

是奇函数．（a＞0，且a≠1）
（1）求m的值；
（2）判断f（x）在区间（1，+∞）上的单调性并加以证明．
（3）当a＞1，x∈（r，a-2）时，f（x）的值域是（1，+∞），求a与r的值．

Answer 1

分析：（1）由函数f（x）是奇函数，可得出f（x）=-f（x），由此方程恒成立，可得出参数m的方程，解出参数的值即可；
（2）由于本题中参数a的取值范围未定，故应对它的取值范围分类讨论，判断函数的单调性再进行证明；
（3）由题设x∈（r，a-2）时，f（x）的值的范围恰为（1，+∞），可根据函数的单调性确定出两个参数a及r的方程，解方程得出两个参数的值．

解答：解：（1）由f（x）=log_a

1-mx

x-1

是奇函数得
f（-x）=-f（x）
即log_a 

1-mx

x-1

+log_a 

mx+1

-x-1

=0
log _a 

1-m2x2

1-x2

=0即m=-1（m=1舍去）
（2）由（1）得，f（x）=log_a 

x+1

x-1

（a＞0，a≠1），
任取x₁，x₂∈（1，+∞），且x₁＜x₂，令t（x）=

x+1

x-1

，
则t（x₁）-t（x₂）=

x1+1

x1-1

-

x2+1

x2-1

=

2(x2-x1)

(x1-1)(x2-1)

∵x₁＞1，x₂＞1，x₁＜x₂
∴x₁-1＞0，x₂-1＞0，x₂-x₁＞0
∴t（x₁）＞t（x₂）
∴当a＞1时，log_a 

x1+1

x1-1

＞log_a

x2+1

x2-1

，
f（x）在（1，+∞）上是减函数；当0＜a＜1时，f（x）在（1，+∞）上是增函数．
（3）因为x∈（r，a-2），定义域D=（-∞，-1）∪（1，+∞），
1°当r≥1时，则1≤r＜a-2，即a＞3，…（14分）
所以f（x）在（r，a-2）上为减函数，值域恰为（1，+∞），所以f（a-2）=1，…（15分）
即log_a

1+a-2

a-2-1

=log_a

a-1

a-3

=1，即

a-1

a-3

=a，…（16分）
所以a=2+

3

且r=1 …（18分）
2°当r＜1时，则（r，a-2）?（-∞，-1），所以0＜a＜1，这与a＞1不合，
所以a=2+

3

且r=1．

点评：本小题主要考查函数单调性的应用、函数奇偶性的应用、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于中档题．