题目内容
【题目】已知椭圆
的离心率为
，
，
，
，
的面积为
．
（1）求椭圆
的方程；
（2）过右焦点
作与
轴不重合的直线
交椭圆于
，
两点，连接
，
分别交直线
于，
，
两点，若直线
，
的斜率分别为
，
，试问：
是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．
【答案】（1）
；（2）
为定值
，理由见解析
【解析】
（1）结合椭圆离心率、
的面积、
列方程组，解方程组求得
，由此求得椭圆的标准方程.
（2）当直线
斜率不存在时，求得
两点的坐标，由此求得直线
的方程，进而求得
两点的坐标，由此求得
，
，求得
.当直线斜率存在时，设直线方程为
，联立直线的方程和椭圆方程，写出韦达定理，求得直线的方程，进而求得两点的坐标，由此求得，，结合韦达定理计算.由此证得为定值.
（1）由题意得
，
解得
，
所以椭圆
的方程为.
（2）由（1）知
，
，
①当直线斜率不存在时，直线方程为
，
联立
，得
，
不防设
，
，
则直线
方程为
，
令
，得
，则
，
此时，
，
同理
，
所以
，
②当直线斜率存在时，设直线方程为，
联立
，得
，
设
，
，
则
，
，
直线方程为
，
令，得
，则
，
同理
，
所以
，
，
所以
综上所述，为定值.
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