题目内容
（2012•荆州模拟）已知△ABC的面积为9
，且
•(
-
)=18，向量
=(tanA+tanB，sin2C)和向量
=(1，cosAcosB)是共线向量．
（1）求角C；
（2）求△ABC的边长c．
| 3 |
| AC |
| AB |
| CB |
| m |
| n |
（1）求角C；
（2）求△ABC的边长c．
分析：（1）利用向量共线的条件，建立等式，再利用和角的正弦公式化简等式，即可求得角C；
（2）由
•(
-
)=18得：
•(
+
)=
2=18，进而利用△ABC的面积为9
，及余弦定理可求△ABC的边长c．
（2）由
| AC |
| AB |
| CB |
| AC |
| AB |
| BC |
| AC |
| 3 |
解答：解：（1）∵
∥
，∴（tanA+tanB）cosAcosB=sin2C，即sinAcosB+cosAsinB=sin2C，
∴sin（A+B）=sin2C，
∴sinC=2sinCcosC
∵sinC≠0，∴cosC=
，
∵C∈（0，π）
∴C=
…（6分）
（2）由
•(
-
)=18得：
•(
+
)=
2=18，
∴b=3
S△=
absinC=
a•3
•
=9
，
∴a=6
，∴c2=a2+b2-2abcosC=54，∴c=3
…（12分）
| m |
| n |
∴sin（A+B）=sin2C，
∴sinC=2sinCcosC
∵sinC≠0，∴cosC=
| 1 |
| 2 |
∵C∈（0，π）
∴C=
| π |
| 3 |
（2）由
| AC |
| AB |
| CB |
| AC |
| AB |
| BC |
| AC |
∴b=3
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 2 |
| ||
| 2 |
| 3 |
∴a=6
| 2 |
| 6 |
点评：本题重点考查正弦、余弦定理的运用，考查向量知识的运用，解题的关键是正确运用正弦、余弦定理求出三角形的边．
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