题目内容

已知A（1，1）是椭圆 $数学公式$ =1（a＞b＞0）上一点，F₁、F₂是椭圆的两焦点，且满足|AF₁|+|AF₂|=4．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设点C、D是椭圆上两点，直线AC、AD的倾斜角互补，求直线CD的斜率．

解：（1）由椭圆定义知2a=4，所以a=2，
即椭圆方程为 $\text{[math]}$ =1
把（1，1）代入得 $\text{[math]}$ =1所以b²= $\text{[math]}$ ，椭圆方程为： $\text{[math]}$ =1
（2）由题意知，AC的倾斜角不为90⁰，故设AC方程为y=k（x-1）十1，
联立 $\text{[math]}$ 消去y，得（1+3k²）x²-6k（k-1）x+3k²-6k-1=0．
∵点A（1，1）、C在椭圆上，∴x_C= $\text{[math]}$
∵AC、AD直线倾斜角互补，∴AD的方程为y=-k（x-l）+1，
同理x_D= $\text{[math]}$
又y_C=k（x_C-1）+1，y_D=-k（x_D-1）+1，
∴y_C-y_D=k（x_C+x_D）-2k．
∴ $\text{[math]}$ ．
分析：（1）根据椭圆的定义可知|AF₁|+|AF₂|=4=2a，然后将点A（1，1）代入椭圆方程即可求出a，b的值，从而确定椭圆的标准方程．
（2）先假设出直线AV的方程，然后联立直线与椭圆消去y得到关于x的一元二次方程，进而表示出点C的横坐标，再由AC、AD直线倾斜角互补可得到直线AD的方程，进而可得到D的横坐标，然后将点C、D的横坐标分表代入直线方程可得到其对应的纵坐标，即可得到答案．
点评：本题主要考查椭圆的标准方程和直线与椭圆的综合问题．直线与圆锥曲线的综合问题是高考的重点问题，每年必考，且常以压轴题的形式出现，一定要强化复习．

练习册系列答案

≤x≤2m)
（m＞0）合成的曲线叫“抛椭圆”，是否存在以原点O为直角顶点，另两个顶点A₁、A₂落在“抛椭圆”上的等腰直角三角形OA₁A₂，若存在，求出两直角边所在直线的斜率；若不存在，说明理由．

下图展示了一个由区间（其中为一正实数)到实数集R上的映射过程：区间中的实数对应线段上的点，如图1；将线段围成一个离心率为的椭圆，使两端点、恰好重合于椭圆的一个短轴端点，如图2 ；再将这个椭圆放在平面直角坐标系中，使其中心在坐标原点，长轴在轴上，已知此时点的坐标为，如图3，在图形变化过程中，图1中线段的长度对应于图3中的椭圆弧ADM的长度.图3中直线与直线交于点，则与实数对应的实数就是，记作,