Question

如图1-2-19，△ABC中，D是BC的中点，M是AD上一点，BM、CM的延长线分别交AC、AB于F、E.求证:EF∥BC.

图1-2-19

Answer 1

思路解析:要证明EF∥BC，想通过角之间的关系达到目的显然是不可能的，而要利用成比例线段判定两直线平行的判定定理，图中又没有平行条件，因此要设法作出平行线，以便利用判定定理.如何作出平行线，要充分考虑到中点D条件的应用.

解析一:延长AD至G，使DG =MD，连结BG、CG,如图（1），则四边形BGCM为平行四边形，可以立即将、转化成中间比.

证法一:延长AD至G，使DG =MD，连结BG、CG.?

∵BD =DC,MD =DG,?

∴四边形BGCM为平行四边形.?

∴EC∥BG,FB∥CG.?

∴=, =.?

∴=.∴EF∥BC.

解析二:过A作BC的平行线，与BF、CE的延长线分别交于G、H，如图（2），则

=, =.要证明=，只要证AH =AG，这是不难解决的.?

证法二:过A作BC的平行线，与BF、CE的延长线分别交于G、H.?

∵AH∥DC,AG∥BD,?

∴=, =.∴=.?

∵BD =DC,∴AH =AG.?

∵HG∥BC,?

∴=, =.?

∵AH =AG,∴=.?

∴EF∥BC.

解析三:如图（3），过M作BC的平行线，分别与AB、AC交于G、H，?

∵BD =DC,GM =MH,

要证EF∥BC，只要证=，这可以通过中间比立即证得.

证法三:过M作BC的平行线，分别与AB、AC交于G、H.??

则=, =.?

∵BD =DC,∴GM =MH.?

∵GH∥BC,?

∴=, =.?

∵GM =MH,?

∴=.?

∴EF∥BC.