Question

20．已知函数f（x）=sin x+cos x，f′（x）是f（x）的导函数．若f（x）=2f′（x），则$\frac{1+si{n}^{2}x}{co{s}^{2}x-sinxcosx}$=$\frac{11}{6}$．

Answer 1

分析 根据题意，对函数f（x）求导可得f′（x）=cosx-sinx，结合题意可得sin x+cos x=2（cosx-sinx），变形可得tanx=$\frac{1}{3}$，由同角三角函数的基本关系式分析可得$\frac{1+si{n}^{2}x}{co{s}^{2}x-sinxcosx}$=$\frac{2ta{n}^{2}x+1}{1-tanx}$，将tanx=$\frac{1}{3}$代入计算可得答案．

解答 解：根据题意，函数f（x）=sin x+cos x，则f′（x）=cosx-sinx，
又由f（x）=2f′（x），即sin x+cos x=2（cosx-sinx），
变形可得cosx=3sinx，即tanx=$\frac{1}{3}$，
$\frac{1+si{n}^{2}x}{co{s}^{2}x-sinxcosx}$=$\frac{2si{n}^{2}x+co{s}^{2}x}{co{s}^{2}x-sinxcosx}$=$\frac{2ta{n}^{2}x+1}{1-tanx}$，
又由tanx=$\frac{1}{3}$，
则$\frac{1+si{n}^{2}x}{co{s}^{2}x-sinxcosx}$=$\frac{2si{n}^{2}x+co{s}^{2}x}{co{s}^{2}x-sinxcosx}$=$\frac{2ta{n}^{2}x+1}{1-tanx}$=$\frac{11}{6}$；
故答案为：$\frac{11}{6}$．

点评 本题考查三角函数的化简求值以及导数的计算，关键是对$\frac{1+si{n}^{2}x}{co{s}^{2}x-sinxcosx}$的化简变形．