Question

20．已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，且焦距为4．
（1）求椭圆的方程；
（2）直线l过点P（0，2）且与椭圆相交于A、B两点，当△AOB面积取得最大值时，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）设椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）．由条件得b=c=2，a²=b²+c²=8，解出即可；
（2）直线l的斜率一定存在，设直线l的方程为：y=kx+2（k≠0），联立直线和椭圆方程，消去y得关于x的方程，运用弦长公式以及三角形的面积公式，再由基本不等式即可得到最大值．

解答 解：（1）设椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）．
则由条件得，b=c=2，a²=b²+c²=8
故椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}$=1；
（2）直线l的斜率一定存在，设直线l的方程为：y=kx+2（k≠0），
由y=kx+2和椭圆方程$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}$=1，联立，消去y得
（1+2k²）x²+8kx=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁，=0，x₂=-$\frac{8k}{1+2{k}^{2}}$，
∴|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•|$\frac{8k}{1+2{k}^{2}}$|，
又O到直线AB的距离为d=$\frac{2}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}$|AB|d=|$\frac{8k}{1+2{k}^{2}}$|=$\frac{8}{\frac{1}{|k|}+2|k|}$≤$\frac{8}{2\sqrt{2}}$=2$\sqrt{2}$
当且仅当k=$\frac{\sqrt{2}}{2}$时，取等号，
此时直线方程为y=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$x+2．

点评 本题考查椭圆的方程和性质及运用，考查直线和椭圆方程联立，消去一个未知数，运用韦达定理，和弦长公式，考查运算求解能力，属于中档题．