Question

已知函数f（x）=的图象过点（-1，2），且在处取得极值．
（Ⅰ）求实数b，c的值；
（Ⅱ）求f（x）在[﹣1，e]（e为自然对数的底数）上的最大值．

Answer 1

解：（Ⅰ）当x＜1时，f′（x）=﹣3x²+2x+b，

由题意得：，即，
解得：b=c=0．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：f（x）=
①当﹣1≤x＜1时，f′（x）=﹣x（3x﹣2），
解f′（x）＞0得0＜x＜；
解f′（x）＜0得﹣1＜x＜0或＜x＜1
∴f（x）在（﹣1，0）和上单减，在（0，）上单增，
由f′（x）=﹣x（3x﹣2）=0得：x=0或x=，
∵f（﹣1）=2，f（）=．f（0）=0，f（1）=0，
∴f（x）在[﹣1，1）上的最大值为2．
②当1≤x≤e时，f′（x）=alnx，
当a≤0时，f′（x）≤0；
当a＞时，f（x）在[1，e]单调递增；
∴f（x）在[1，e]上的最大值为a．
∴当a≥2时，f（x）在[﹣1，e]上的最大值为a；
当a＜2时，f（x）在[﹣1，e]上的最大值为2．