题目内容
已知函数f（x）=|sinx|的图象与直线y=kx（k＞0）有且仅有三个交点，交点的横坐标的最大值为α，求证：
=
．
| cosα |
| sinα+sin3α |
| 1+α2 |
| 4α |
分析：作出函数f（x）=|sinx|的图象，利用函数f（x）=|sinx|的图象与直线y=kx（k＞0）有且仅有三个交点，确定切点坐标，然后利用三角函数的关系式证明等式．
解答：
解：作出函数f（x）=|sinx|的图象与直线y=kx（k＞0）的图象，如图所示，要使两个函数有且仅有三个交点，
则由图象可知，直线在（π，
）内与f（x）相切．设切点为A（α，-sinα），
当x∈（π，
）时，f（x）=|sinx|=-sinx，
此时f'（x）=-cosx，x∈（π，
）．
所以-cosα=-
，即α=tanα，
所以
=
=
=
=
=
．
所以等式成立．
解：作出函数f（x）=|sinx|的图象与直线y=kx（k＞0）的图象，如图所示，要使两个函数有且仅有三个交点，则由图象可知，直线在（π，
| 3π |
| 2 |
当x∈（π，
| 3π |
| 2 |
此时f'（x）=-cosx，x∈（π，
| 3π |
| 2 |
所以-cosα=-
| sinα |
| α |
所以
| cosα |
| sinα+sin3α |
| cosα |
| 2sin2αcosα |
| cosα |
| 4sinαcosα |
=
| cos2α+sin2α |
| 4sinαcosα |
| 1+tan2α |
| 4tanα |
| 1+α2 |
| 4α |
所以等式成立．
点评：本题主要考查了两函数的交点的应用，以及三角函数的导数应用，综合性较强，难度较大．
练习册系列答案
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已知函数f（x）=x2-bx的图象在点A（1，f（1））处的切线l与直线3x-y+2=0平行，若数列{
}的前n项和为Sn，则S2010的值为（ ）
| 1 |
| f(n) |
A、
| ||
B、
| ||
C、
| ||
D、
|