Question

（2012•杭州二模）已知各项都是正数的等比数列{a_n}中，存在两项 am， an(m， n∈N*)使得

aman

=4a1，且a₇=a₆+2a₅，则

1

m

+

4

n

的最小值是（　　）

• A．

  3

  2

• B．

  4

  3

• C．

  2

  3

• D．

  3

  4

Answer 1

分析：分析题目已知正项等比数列{a_n}满足：a₇=a₆+2a₅，可以根据等比数列通项公式解出q的值．由存在两项 am， an(m， n∈N*)使得

aman

=4a1，可解得m+n=6．将所求

1

m

+

4

n

乘以

1

6

（m+n），利用基本不等式，即可得到答案．

解答：解：因为已知正项等比数列{a_n}满足：a₇=a₆+2a₅，
则有a₁q⁶=a₁q⁵+2a₁q⁴．
即：q²-q-2=0，解得：q=2，q=-1，又因为时正项等比数列故q=2．
∵存在两项 am， an(m， n∈N*)使得

aman

=4a1，即a₁×

2m-12n-1

=4a₁，∴m+n=6
则

1

m

+

4

n

=

1

6

（m+n）（

1

m

+

4

n

）=

1

6

[5+

n

m

+

4m

n

]≥

1

6

（5+2

n m × 4m n

）=

3

2

   （当且仅当

4m

n

=

n

m

时取等号）
∴

1

m

+

4

n

的最小值是

3

2

故选 A

点评：此题主要考查基本不等式的应用问题，其中涉及到等比数列通项的问题，属于综合性试题，考查学生的灵活应用能力，属于中档题目．