Question

（2012•杭州二模）双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0， b＞0)的左、右焦点分别为F₁，F₂，渐近线分别为l₁，l₂，点P在第一 象限内且在l₁上，若l₂⊥PF₁，l₂∥PF₂，则双曲线的离心率是（　　）

• A．

  5

• B．2
• C．

  3

• D．

  2

Answer 1

分析：由双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0， b＞0)的左、右焦点分别为F₁，F₂，渐近线分别为l₁，l₂，点P在第一 象限内且在l₁上，知F₁（-c，0）F₂（c，0）P（x，y），由渐近线l₁的直线方程为y=

b

a

x，渐近线l₂的直线方程为y=-

b

a

x，l₂∥PF₂，知ay=bc-bx，由ay=bx，知P（

c

2

，

bc

2a

），由此能求出离心率．

解答：解：∵双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0， b＞0)的左、右焦点分别为F₁，F₂，
渐近线分别为l₁，l₂，点P在第一 象限内且在l₁上，
∴F₁（-c，0）F₂（c，0）P（x，y），
渐近线l₁的直线方程为y=

b

a

x，渐近线l₂的直线方程为y=-

b

a

x，
∵l₂∥PF₂，∴

y

x-c

=-

b

a

，即ay=bc-bx，
∵点P在l₁上即ay=bx，
∴bx=bc-bx即x=

c

2

，∴P（

c

2

，

bc

2a

），
∵l₂⊥PF₁，
∴

bc 2a

3c 2

•(-

b

a

)=-1，即3a²=b²，
因为a²+b²=c²，
所以4a²=c²，即c=2a，
所以离心率e=

c

a

=2．
故选B．

点评：本题考查双曲线的简单性质的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意直线和双曲线位置关系的灵活运用．