Question

【题目】设，，其中a，．

Ⅰ求的极大值；

Ⅱ设，，若对任意的，恒成立，求a的最大值；

Ⅲ设，若对任意给定的，在区间上总存在s，，使成立，求b的取值范围．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）1；（Ⅱ）；（Ⅲ）.

【解析】

Ⅰ求出的导数，令导数大于0，得增区间，令导数小于0，得减区间，进而求得的极大值；

Ⅱ当，时，求出的导数，以及的导数，判断单调性，去掉绝对值可得，构造函数，求得的导数，通过分离参数，求出右边的最小值，即可得到a的范围；

Ⅲ求出的导数，通过单调区间可得函数在上的值域为，由题意分析时，结合的导数得到在区间上不单调，所以，，再由导数求得的最小值，即可得到所求范围．

Ⅰ，

当时，，在递增；当时，，在递减．

则有的极大值为；

Ⅱ当，时，，，

在恒成立，在递增；

由，在恒成立，在递增．

设，原不等式等价为，

即，，在递减，

又，在恒成立，

故在递增，，

令，，

∴

，在递增，

即有，即；

Ⅲ，

当时，，函数单调递增；

当时，，函数单调递减．

又因为，，，

所以，函数在上的值域为．

由题意，当取的每一个值时，

在区间上存在，与该值对应．

时，，，

当时，，单调递减，不合题意，

当时，时，，

由题意，在区间上不单调，所以，，

当时，，当时， 0'/>

所以，当时，，

由题意，只需满足以下三个条件：，

，使．

，所以成立由，所以满足，

所以当b满足即时，符合题意，

故b的取值范围为．