Question

10．已知f（x）=ax-lnx，a∈R．
（1）当a=1时，求曲线f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（2）是否存在实数a，使f（x）在区间（0，e]的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，求出f′（2）的值，从而求出切线方程即可；
（2）先求出函数f（x）的导数，通过讨论a的范围，得到函数的单调区间，从而求出a的值．

解答 解：（1）∵f（x）=x-lnx，f′（x）=1-$\frac{1}{x}$=$\frac{x-1}{x}$      …（1分）
∴切线的斜率是f′（2）=$\frac{1}{2}$，又切点是（2，2-ln2）…（2分）
∴切线的方程是：x-2y+2-2ln2=0             …（4分）
（2）由f（x）=ax-lnx，得f′（x）=a-$\frac{1}{x}$=$\frac{ax-1}{x}$，x∈（0，e]，
①当a≤0时，f（x）在（0，e]上单调递减，f（x）_min=f（e）=ae-1=3，
a=$\frac{4}{e}$（舍去），所以，此时f（x）无最小值．    …（8分）
②当0＜$\frac{1}{a}$＜e时，f（x）在（0，$\frac{1}{a}$）上单调递减，在（$\frac{1}{a}$，e]上单调递增，
f（x）min=f（$\frac{1}{a}$）=1+lna=3，a=e²，满足条件．       …（9分）
③当$\frac{1}{a}$≥e时，f（x）在（0，e]上单调递减，f（x）min=f（e）=ae-1=3，a=$\frac{4}{e}$（舍去），所以，此时f（x）无最小值．            …（10分）
综上，存在实数a=e²，使得当x∈（0，e]时f（x）有最小值3．…（12分）

点评 本题考察了函数的单调性，最值问题，考察导数的应用，是一道中档题．