Question

7．已知锐角三角形的三边长分别为1，2，a，则a的取值范围是（　　）

• A． （3，5）
• B． （$\sqrt{3}，\sqrt{5}$）
• C． （$\sqrt{3}，5$）
• D． （$\sqrt{5}，3$）

Answer 1

分析 由△ABC的三边长，根据余弦定理的推论得到△ABC为锐角三角形时余弦值大于0，列出不等式组即可求出a的取值范围．

解答 解：∵△ABC三边长分别为1、2、a，
且△ABC为锐角三角形，
当2为最大边时2≥a，设2所对的角为α，
根据余弦定理得：cosα=$\frac{{a}^{2}+1{-2}^{2}}{2a}$＞0，
∵a＞0，
∴a²-3＞0，
解得2≥a＞$\sqrt{3}$；
当a为最大边时a＞2，设a所对的角为β，
根据余弦定理得：cosβ=$\frac{1{+2}^{2}{-a}^{2}}{2×2×1}$＞0，
∴5-a²＞0，
解得：2＜a＜$\sqrt{5}$，
综上，实数a的取值范围为（$\sqrt{3}$，$\sqrt{5}$）．
故选：B．

点评 本题考查了三角形的形状判断以及余弦定理的应用问题，利用了分类讨论的思想，解题关键是利用余弦定理推论得出最大边所对角的余弦值大于0，进而根据两边长1和2求出第三边a的取值范围．