Question

曲线y=

x

2x-1

在点（1，1）处的切线为l，则l上的点到圆x²+y²+4x+3=0上的点的最近距离是

 

．

Answer 1

分析：利用导数的几何意义，求出切线方程，然后根据直线和圆的位置关系即可得到结论．

解答：解：∵y=f（x）=

x

2x-1

，
∴f'（x）=-

1

(2x-1)2

，
∴在点（1，1）处的切线为l的斜率k=-1，
∴切线方程为y-1=-（x-1），
即x+y-2=0，
圆的标准方程为（x+2）²+y²=1，
∴圆心A（-2，0），半径r=1．
则圆心到直线x+y-2=0的距离d=

|-2+0-2|

2

=

4

2

=2

2

，
∴l上的点到圆x²+y²+4x+3=0上的点的最近距离是d-r=2

2

-1，
故答案为：2

2

-1．

点评：本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，根据导数的几何意义求出切线方程是解决本题的关键，考查学生的运算能力．