Question

已知

a

，

b

，

c

是同一平面内的三个向量，其中

a

=（1，2）
（1）若|

c

|=2

5

，且

c

∥

a

，求

c

的坐标；
（2）若|

b

|=

5

2

，且

a

+2

b

与

a

-

b

垂直，求

a

与

b

的夹角θ．

Answer 1

考点：数量积表示两个向量的夹角,平面向量共线（平行）的坐标表示

专题：平面向量及应用

分析：（1）设

c

=λ•

a

=（λ，2λ），由|

c

|=2

5

，求得λ 的值，可得

c

的坐标．
（2）由条件根据（

a

+2

b

）•（

a

-

b

）=

a

2+

a

•

b

-2

b

2=0，化简可得

a

•

b

=-

5

2

，再利用两个向量的数量积的定义求得cosθ 的值，可得

a

与

b

的夹角θ．

解答： 解：（1）由于

a

，

b

，

c

是同一平面内的三个向量，其中

a

=（1，2），
若|

c

|=2

5

，且

c

∥

a

，可设

c

=λ•

a

=（λ，2λ），则由|

c

|=

λ2+(2λ)2

=2

5

，
可得λ=±2，∴

c

=（2，4），或 

c

=（-2，4）．
（2）∵|

b

|=

5

2

，且

a

+2

b

与

a

-

b

垂直，∴（

a

+2

b

）•（

a

-

b

）=

a

2+

a

•

b

-2

b

2=0，
化简可得

a

•

b

=-

5

2

，即

5

×

5

2

×cosθ=-

5

2

，∴cosθ=-1，
故

a

与

b

的夹角θ=π．

点评：本题主要考查两个向量共线、垂直的性质，两个向量坐标形式的运算，属于基础题．