Question

已知函数=x³+bx²+cx+1在区间（-∞，-2]上单调递增，在区间［-2，2］上单调递减，且b≥0.

（1）求的表达式；

（2）设0＜m≤2，若对任意的x′,x″∈［m-2，m］，不等式||≤16m恒成立，求实数m的最小值.

Answer 1

解：（1）=x³+bx²+cx+1，=3x²+2bx+c.

∵在区间（-∞，-2]上单调递增，在区间［-2，2］上单调递减，

∴方程=3x²+2bx+c=0有两个不等实根x₁、x₂，且x₁=-2，x₂≥2，

∵x₁+x₂=，x₁x₂=，

∴x₂=+2，∴+2≥2，∴b≤0，

∵已知b≥0，∴b=0，∴x₂=2，c=-12，∴=x³-12x+1.

（2）对任意的x′,x″∈[m-2,m],不等式||≤16m恒成立，等价于在区间［m-2，m］上，［］_max-［］_min≤16m.

=x³-12x+1，=3x²-12.

由=3x²-12＜0，解得-2＜x＜2.

∴的减区间为[-2，2]

∵0＜m≤2，∴[m-2，m][-2，2].∴在区间[m-2，m]上单调递减，

在区间[m-2，m]上，[]_max==（m-2）³-12（m-2）+1，

[]_min==m³-12m+1，

[]_max-[]_min

=[（m-2）³-12（m-2）+1]-（m³-12m+1）=-6m²+12m+16，

∵[]_max-[]_min≤16m，

∴-6m²+12m+16≤16m，3m²+2m-8≥0，

解得m≤-2，或m≥.

∵0＜m≤2，∴m_min=.

点评：本题考查学生对导数在单调性知识方面的运用，需要学生熟练掌握导数知识及分析能力、运算能力.