Question

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c在x=-

2

3

和x=1时都取得极值．
（1）求a，b的值；
（2）求f（x）在[-1，2]上的最大值和最小值（用含c的代数式表示）；
（3）若对x∈[-1，2]，不等式f（x）＜c²恒成立，求c的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用导数与极值之间的关系建立方程求解．（2）利用导数通过表格求函数的最大值和最小值．（3）不等式恒成立，实质是求f（x）在[-1，2]的最大值．

解答：解：（1）f′（x）=3x²+2ax+b      …1
因为函数f（x）在x=-

2

3

和x=1取到极值，即f′（-

2

3

）=0，f′（1）=0．
所以，f′（-

2

3

）=

12

9

-

4

3

a+b=0，f′（1）=3+2a+b=0
解得 a=-

1

2

，b=-2        …3

（2）由（1）可得f（x）=x³-

1

2

x²-2x+c

x	-1	（-1，- 2 3 ）	- 2 3	（- 2 3 ，1）	1	（1，2）	2
f'（x）		+	0	-	0	+
f（x）	1 2 +c	递增	+c	递减	- 3 2 +c	递增	2+c

所以，在[-1，2]上  f_min（x）=f（1）=-

3

2

+c，f_max（x）=f（2）=2+c…7
（3）要使f（x）＜c²在x∈[-1，2]恒成立，只需f_max（x）＜c²，即2+c＜c²
解得 c＜-1或c＞2     …10

点评：本题的考点是函数的极值与导数的关系，以及利用导数求函数的最大值和最小值问题．