Question

已知函数f（x）=x³-ax²-3x（a∈R）．
（Ⅰ）若函数f（x）在区间[1，+∞）上为增函数，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）若x=-

1

3

是函数f（x）的极值点，求函数f（x）在区间[1，a]上的最大值；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，是否存在实数b，使得函数g（x）=bx的图象与函数f（x）的图象恰有3个交点？若存在，请求出b的取值范围；若不存在，试说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）首先求出函数的导数，然后根据导数与函数单调性的关系进行计算，
（Ⅱ）首先利用函数的导数与极值的关系求出a的值，然后求出函数极值的大小并与端点函数值进行比较，进而求出函数的最大值，
（Ⅲ）可以先假设存在，然后再依据根的存在性定理进行判断．

解答：解：（Ⅰ）由题意得f′（x）=3x²-2ax-3，
∵f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，
∴当x∈[1，+∞）时，恒有f′（x）≥0，
即3x²-2ax-3≥0在区间[1，+∞）上恒成立，
由△=4a2+36＞0，

a

3

≤1且f′（1）=-2a≥0，
解得a≤0，
（Ⅱ）依题意得f′(-

1

3

)=0，

1

3

+

2

3

a-3=0，a=4，
∴f（x）=x³-4x²-3x，
令f′（x）=3x²-8x-3=0，
解得x1=-

1

3

，x2=3，
而f(1)=-6，f(3)=-18，f(-

1

3

)=-12，
故f（x）在区间[1，4]上的最大值是f（1）=-6．
（Ⅲ）若函数g（x）=bx的图象与函数f（x）的图象恰有3个不同的交点，
即方程x³-4x²-3x=bx恰有3个不等的实数根，
而x=0是方程x³-4x²-3x=bx的一个实数根，则
方程x²-4x-3-b=0有两个非零实数根，
则

△=16+4(b+3)＞0 -3-b≠0

，
即b＞-7且b≠-3，
故满足条件的b存在，其取值范围是（-7，-3）∪（-3，+∞）．

点评：掌握并会熟练运用导数与函数单调性的关系，以及根的存在性定理，会运用导数解决函数的极值和最值问题．