Question

在矩形ABCD中，AB=1，BC=2，沿对角线AC折成直二面角，则折后异面直线AB与CD所成的角为（　　）

• A、arccos

  1

  5

• B、arcsin

  1

  5

• C、arccos

  2

  5

• D、arccos

  4

  5

Answer 1

分析：画出图形，设点B原来的位置为B₀，则∠B₀AB就是异面直线AB与CD所成的角，解三角形B0AB可求出所成角的余弦．设直角三角形ABC斜边AC边上的高为BE，不难得出B₀E是直角三角形AB₀C斜边AC边上的高，根据直二面角，可在等腰直角三角形BB₀E中求出BB₀的长，从而在三角形ABB₀中用余弦定理求出的余弦．

解答：解：如图，设点B原来的位置为B₀
过B作BE⊥AC，B₀E，则不难得出B₀E⊥AC
矩形AB₀CD中，AB₀∥CD
∴∠B₀AB就是异面直线AB与CD所成角，
由题意，直角三角形ABC中，可得BE=

AB×BC

AC

=

2 5

5

，
同理B₀E=

AB×BC

AC

=

2 5

5

，
∵二面角B-AC-D为直二面角，∠B₀EB是二面角B-AC-D的平面角
∴∠B₀EB=90°
∴B0B=

BE2+B0E 2

=

2 10

5

在三角形ABB₀中，由余弦定理
cos∠B0AB=

A B 2 0 +AB2-BB   2 0

2AB 0×AB

=

1

5

折后异面直线AB与CD所成的角为arccos

1

5

故选A

点评：本题考查异面直线及其所成的角，二面角及其度量，考查作图能力，计算能力，是基础题．