Question

过点P（2，1）的直线l交x轴、y轴正半轴于A、B两点，求使：
（1）△AOB面积最小时l的方程；
（2）|PA||PB|最小时l的方程．

Answer 1

分析：设出直线的截距式方程，利用直线经过点（2，1），得到关系式，
（1）通过基本不等式求出ab的最小值，然后求解△AOB面积最小时l的方程；
（2）利用推出的关系式，通过距离公式化简|PA||PB|，利用基本不等式求出最小值时a，b的值，然后求出l的方程．

解答：解：设直线的方程为

x

a

+

y

b

=1（a＞2，b＞1），
∵直线l过点P（2，1），
∴

2

a

+

1

b

=1．
（1）∵2

2 a • 1 b

≤

2

a

+

1

b

=1，
∴ab≥8．∴S_△AOB=

1

2

ab≥

1

2

×8=4．
当且仅当

2

a

=

1

b

=

1

2

，即a=4，b=2时，S_△AOB取最小值4，
此时直线l的方程为

x

4

+

y

2

=1，即x+2y-4=0．
（2）由

2

a

+

1

b

=1，得ab-a-2b=0，
变形得（a-2）（b-1）=2，
|PA||PB|=

(2-a)2+(1-0)2

•

(2-0)2+(1-b)2

=

[(a-2)2+1]•[(b-1)2+4]

≥

2(a-2)•4(b-1)

．
当且仅当a-2=1，b-1=2，即a=3，b=3时，|PA|•|PB|取最小值4．
此时直线l的方程为x+y-3=0．

点评：本题考查直线方程的应用，基本不等式求解最值问题，考查转化思想以及计算能力．