Question

已知函数
（1）若为的极值点，求实数的值；
（2）若在上为增函数，求实数的取值范围；
（3）当时，方程有实根，求实数的最大值.

Answer 1

（1）；（2）；（3）0.

试题分析：（1）先求导数，因为为的极值点，所以，所以得出；（2）因为在区间 上为增函数，所以恒成立，通过对和进行讨论；（3）将代入方程，得到，所以本题转化成与的交点问题，所以通过求导判断函数的单调性，画出函数的图像，得到的取值范围.
试题解析：(1)解：         1分
因为为的极值点，所以   2分
即，解得：    3分
又当时，，从而为的极值点成立．  4分
(2)解：∵在区间 上为增函数，
∴在区间 上恒成立．  5分
①当时，在 上恒成立，所以在 上为增函数，
故符合题意．    6分
②当时，由函数的定义域可知，必须有对恒成立，故只能，
所以在区间 上恒成立．  7分
令，其对称轴为    8分
∵，∴，从而在 上恒成立，只要即可，
由，解得：  9分
∵，∴．综上所述，的取值范围为       10分
(3)解：时，方程可化为，．
问题转化为在 上有解                               11分
令，则                   12分
当时，，∴在上为增函数
当时，，∴在上为减函数
故，而，故，即实数的最大值是0．     14分