Question

5．已知f（x）是定义R在上的偶函数，且f（x+1）=-f（x），若f（x）在[-1，0]上单调递减，则f（x）在[1，3]上是（　　）

• A． 增函数
• B． 减函数
• C． 先增后减的函数
• D． 先减后增的函数

Answer 1

分析 根据题意，先由f（x+1）=-f（x）确定函数的周期为2，结合函数的奇偶性与在[-1，0]上单调递减，分析可得答案．

解答 解：根据题意，∵f（x+1）=-f（x），
∴f（x+2）=-f（x+1）=f（x），
∴函数的周期是2；
又f（x）在定义域R上是偶函数，在[-1，0]上是减函数，
∴函数f（x）在[0，1]上是增函数，
∴函数f（x）在[1，2]上是减函数，在[2，3]上是增函数，
∴f（x）在[1，3]上是先减后增的函数；
故选：D．

点评 本题考查函数奇偶性与单调性的综合应用，涉及函数的周期性，关键是求出函数的周期．