题目内容

若关于x的函数sinx+cosx=k在x∈[0，π]上有两个解，则k的取值范围是（　　）
分析：由于k=sinx+cosx=
2
sin（x+
π
4
），x∈[0，π]⇒x+
π
4
∈[
π
4
，
5π
4
]⇒sin（x+
π
4
）∈[-
2
2
，1），从而可求得k的取值范围．
解答：解：∵k=sinx+cosx=
2
sin（x+
π
4
），又x∈[0，π]，
∴x+
π
4
∈[
π
4
，
5π
4
]，
∴-
2
2
≤sin（x+
π
4
）≤1；-1≤
2
sin（x+4）≤
2
，
又关于x的函数sinx+cosx=k在x∈[0，π]上有两个解（可作出y=
2
sin（x+
π
4
）与y=k的图象），
∴1≤k＜
2
．
故选B．
点评：本题考查正弦函数的定义域和值域，难点在于由“x∈[0，π]⇒x+
π
4
∈[
π
4
，
5π
4
]⇒sin（x+
π
4
）∈[-
2
2
，1]”着重考查辅助角公式的应用及数形结合的思想，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
给出以下五个结论：
（1）函数f(x)=
x-1
2x+1
的对称中心是(-
1
2
，-
1
2
)；
（2）若关于x的方程x-
1
x
+k=0在x∈（0，1）没有实数根，则k的取值范围是k≥2；
（3）已知点P（a，b）与点Q（1，0）在直线2x-3y+1=0两侧，当a＞0且a≠1，b＞0时，
b
a-1
的取值范围为(-∞，-
1
3
)∪(
2
3
，+∞)；
（4）若将函数f(x)=sin(2x-
π
3
)的图象向右平移?（?＞0）个单位后变为偶函数，则?的最小值是
5π
12
；
（5）已知m，n是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，若m⊥α，n∥β且m⊥n，则α⊥β；其中正确的结论是：
 
．
已知向量
a
=(cos2ωx-sin2ωx，sinωx)，
b
=(
3
，2cosωx)，设函数f(x)=
a
•
b
(x∈R)的图象关于直线x=
π
2
对称，其中ω为常数，且ω∈（0，1）．
（Ⅰ）求函数f（x）的表达式；
（Ⅱ）若将y=f（x）图象上各点的横坐标变为原来的
1
6
，再将所得图象向右平移
π
3
个单位，纵坐标不变，得到y=h（x）的图象，若关于x的方程h（x）+k=0在区间[0，
π
2
]上有且只有一个实数解，求实数k的取值范围．
给出以下四个结论：
①函数f(x)=
2x-1
x+1
的对称中心是（-1，2）；
②若关于x的方程x-
1
x
+k=0在x∈（0，1）没有实数根，则k的取值范围是k≥2；
③在△ABC中，“bcosA=acosB”是“△ABC为等边三角形”的必要不充分条件；
④若将函数f（x）=sin（2x-
π
3
）的图象向右平移φ（φ＞0）个单位后变为偶函数，则φ的最小值是
π
12
；其中正确的结论是
①③④
①③④
．
（2010•九江二模）已知函数f(x)=sin(
π
4
x-
π
6
)-2cos2
π
8
x+1，x∈R．
（1）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；
（2）若关于x的方程4f2(x)-mf(x)+1=0在x∈(
4
3
，4)内有实数解，求实数m的取值范围．
已知函数f（x）=
22-x， x≥2  
sin(
π
4
x)， -2≤x＜2
，若关于x的方程f（x）=k有两个不同的实数根，则实数k的取值范围是
 
．

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