Question

在直角坐标系xOy中，已知中心在原点，离心率为的椭圆E的一个焦点为圆C：x²＋y²－4x＋2＝0的圆心．

(Ⅰ)求椭圆E的方程；

(Ⅱ)设P是椭圆E上一点，过P作两条斜率之积为的直线l₁，l₂．当直线l₁，l₂都与圆C相切时，求P的坐标．

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)由，得．故圆Ｃ的圆心为点 　　从而可设椭圆Ｅ的方程为其焦距为，由题设知 　　故椭圆Ｅ的方程为： 　　 　　(Ⅱ)设点的坐标为，的斜分率分别为则的方程分别为且由与圆相切，得 　　， 　　即 　　同理可得． 　　从而是方程的两个实根，于是 　　① 　　且 　　由得解得或 　　由得由得它们满足①式，故点Ｐ的坐标为 　　，或，或，或．

提示：

本题考查曲线与方程、直线与曲线的位置关系，考查运算能力，考查数形结合思想、函数与方程思想等数学思想方法．第一问根据条件设出椭圆方程，求出即得椭圆E的方程，第二问设出点P坐标，利用过P点的两条直线斜率之积为，得出关于点P坐标的一个方程，利用点P在椭圆上得出另一方程，联立两个方程得点P坐标．