Question

如图，正三棱锥O-ABC的三条侧棱OA、OB、OC两两垂直，且长度均为2，E、F分别是AB、AC的中点，H是EF的中点，过EF的平面与侧棱OA、OB、OC或其延长线分别相交于A₁、B₁、C₁，已知OA₁=，
（1）求证：B₁C₁⊥面OAH；
（2）求二面角O-A₁B₁-C₁的大小．

Answer 1

（1）证明：依题设，EF是△ABC的中位线，所以EF∥BC， 则EF∥平面OBC，所以EF∥， 又H是EF的中点，所以AH⊥EF，则， 因为OA⊥OB，OA⊥OC， 所以OA⊥面OBC，则OA⊥， 因此⊥面OAH。
（2）解：作ON⊥于N，连， 因为， 根据三垂线定理知，， 就是二面角的平面角， 作于M，则EM∥OA， 则M是OB的中点，则EM=OM=1， 设，由得，，解得x=3， 在中，， 则， 所以， 故二面角为。