Question

5．已知数列{a_n}的通项公式a_n=n²，数列{b_n}的通项公式b_n=2ⁿ，则数列{$\frac{{a}_{n}}{{b}_{n}}$}的最大值为$\frac{9}{8}$．

Answer 1

分析 $\frac{{a}_{n}}{{b}_{n}}$=$\frac{{n}^{2}}{{2}^{n}}$，作差$\frac{{a}_{n+1}}{{b}_{n+1}}$-$\frac{{a}_{n}}{{b}_{n}}$=$\frac{（n+1）^{2}}{{2}^{n+1}}$-$\frac{{n}^{2}}{{2}^{n}}$=$\frac{-（n-1）^{2}+2}{{2}^{n+1}}$，可得当n=1，2时，$\frac{{a}_{n+1}}{{b}_{n+1}}$＞$\frac{{a}_{n}}{{b}_{n}}$；当n≥3时，$\frac{{a}_{n+1}}{{b}_{n+1}}$＜$\frac{{a}_{n}}{{b}_{n}}$．可得n≤3，数列{$\frac{{a}_{n}}{{b}_{n}}$}单调递增；n≥3数列{$\frac{{a}_{n}}{{b}_{n}}$}单调递减．即可得出．

解答 解：$\frac{{a}_{n}}{{b}_{n}}$=$\frac{{n}^{2}}{{2}^{n}}$，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{b}_{n+1}}$-$\frac{{a}_{n}}{{b}_{n}}$=$\frac{（n+1）^{2}}{{2}^{n+1}}$-$\frac{{n}^{2}}{{2}^{n}}$=$\frac{-（n-1）^{2}+2}{{2}^{n+1}}$，
∴当n=1，2时，$\frac{{a}_{n+1}}{{b}_{n+1}}$＞$\frac{{a}_{n}}{{b}_{n}}$；当n≥3时，$\frac{{a}_{n+1}}{{b}_{n+1}}$＜$\frac{{a}_{n}}{{b}_{n}}$．
因此n≤3，数列{$\frac{{a}_{n}}{{b}_{n}}$}单调递增；n≥3数列{$\frac{{a}_{n}}{{b}_{n}}$}单调递减．
又$\frac{{a}_{1}}{{b}_{1}}$=$\frac{1}{2}$，$\frac{{a}_{2}}{{b}_{2}}$=1，$\frac{{a}_{3}}{{b}_{3}}$=$\frac{9}{8}$，$\frac{{a}_{4}}{{b}_{4}}$=1，…，
∴数列{$\frac{{a}_{n}}{{b}_{n}}$}的最大值为$\frac{9}{8}$．
故答案为：$\frac{9}{8}$．

点评 本题考查了数列的单调性、作差法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．