Question

函数f(x)=

1

3

x3+

m+2

2

x2+2mx+1既有极大值又有极小值，求实数m的取值范围．若f（x）的极大值为1，求m的值．

Answer 1

分析：令f′（x）=0既有极大值又有极小值所以得到两个解，然后把这两个值代入到f（x），得f(-2)=

7

3

-2m=1和
f(-m)=

1

6

(m3-6m2)+1=1，求出m的值．利用导数研究函数的增减性判断m的值满足题意与否来确定m的值即可．

解答：解：f′（x）=x²+（m+2）x+2m=（x+2）（x+m），
∵f（x）既有极大值又有极小值，
∴f′（x）=（x+2）（x+m）=0有两个不等实根-2和-m，
∴m≠2（m∈R）；
若f(-2)=

7

3

-2m=1，则m=

2

3

，
当x＜-2时，f'（x）＞0，当-2＜x＜-

2

3

时，f'（x）＜0，f（x）在x=-2处取的极大值，所以m=

2

3

合题意．
f(-m)=

1

6

(m3-6m2)+1=1当m=0时，f′（x）=x（x+2）在区间（-2，0）上小于0，在区间（0，+∞）上大于0，f（x）在x=0上取得极小值，不合题意．
当m=6时，f′（x）=（x+2）（x+6）=0在区间（-∞，-6）上大于0，在区间（-6，-2）上小于0，在x=-m=-6处取得极大值，合题意．总之m=

2

3

或m=6．

点评：本题考查了导数的应用及分类讨论思想．（1）闭区间上函数f（x）的最大值、最小值，只能在极值点或端点处取得，具体解决办法是先由导数确定闭区间内的极值点，然后求出各极值点、端点处函数值，这些值中的最大值就是f（x）的最大值，最小值就是f（x）的最小值．但是要特别注意，所求极值点，在所考查的闭区间内才有效．