Question

【题目】已知sinα+cosα= ，α∈（0， ），sin（β﹣ ）= ，β∈（ ， ）．
（1）求sin2α和tan2α的值；
（2）求cos（α+2β）的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意得（sinα+cosα）2= ，

即1+sin2α= ，∴sin2α= ．

又2α∈（0， ），∴cos2α= = ，∴tan2α= =

（2）解：∵β∈（ ， ），β﹣ ∈（0， ），∴cos（β﹣ ）= ，

于是sin2（β﹣ ）=2sin（β﹣ ）cos（β﹣ ）= ．

又sin2（β﹣ ）=﹣cos2β，∴cos2β=﹣ ．

又2β∈（ ，π），∴sin2β= ．

又cos2α= = ，

∴cosα= ，sinα= （α∈（0， ））．

∴cos（α+2β）=cosαcos2β﹣sinαsin2β

= ×（﹣ ）﹣ × =﹣

【解析】（1）把已知条件两边平方，然后利用同角三角函数间的关系及二倍角的正弦函数公式化简可得sin2α的值，根据2α的范围利用同角三角函数间的关系求出cos2α即可得到tan2α的值；（2）根据β的范围求出 的范围，由sin（ ）的值利用同角三角函数间的关系求出cos（ ）的值，然后利用二倍角的正弦函数公式及同角三角函数间的关系分别求出sin2β和cos2β的值，根据第一问分别求出sinα和cosα的值，把所求的式子利用两角和的余弦函数公式化简后，将每个三角函数值代入即可求出．
【考点精析】本题主要考查了两角和与差的余弦公式和二倍角的正弦公式的相关知识点，需要掌握两角和与差的余弦公式：；二倍角的正弦公式：才能正确解答此题．