Question

已知二阶矩阵M有特征值λ₁=4及属于特征值4的一个特征向量e₁=

2 3

，并有特征值λ₂=-1及属于特征值-1的一个特征向量e₂=

1 -1

，
（1）求矩阵M；
（2）求M^-1．

Answer 1

考点：特征值与特征向量的计算,二阶矩阵,逆变换与逆矩阵

专题：

分析：（1）利用待定系数法，结合特征值与特征向量的定义，建立方程组，即可求矩阵M；
（2）求出M的行列式，即可求得逆矩阵M^-1．

解答： 解：（1）设M=

a b c d

则

a b c d

2 3

=4

2 3

，∴

2a+3b=8 2c+3d=12

①
又

a b c d

1 -1

=-

1 -1

，∴

a-b=-1 c-d=1

②
由①②可得a=1，b=2，c=3，d=2，∴M=

1 2 3 2

．
（2）矩阵M的行列式为2-6=-4
∴逆矩阵M^-1=

- 1 4 1 2 3 4 - 1 2

．

点评：本题主要考查了二阶矩阵，以及特征值与特征向量的计算，考查逆矩阵，正确理解特征值与特征向量是关键，属于中档题．