Question

【题目】已知函数.

（1）当时，求在区间的最值；

（2）求实数的取值范围，使在区间上是单调函数；

（3）当时，求的单调区间.

Answer 1

【答案】(1) f(x)min=－1，f(x)max＝35.(2)a≥4或a≤－6. (3)f(x)在上单调递减，在单调递增。

【解析】试题分析：

(1)由题意结合二次函数的性质可得函数的最值为：f(x)min＝f(2)＝－1，f(x)max＝f(－4)＝35.

(2)首先确定二次函数的对称轴为x=-a，据此得到关于实数a的不等式，求解不等式可得实数的取值范围是a≥4或a≤－6.

(3)首先绘制出函数f(|x|)的图象，结合函数的图象可得f(x)在上单调递减，在单调递增。

试题解析：

(1)当a＝－2时，f(x)＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，则函数在[－4,2)上为减函数，在(2,6]上为增函数，所以f(x)min＝f(2)＝－1，f(x)max＝f(－4)＝(－4)2－4×(－4)＋3＝35.

(2)函数f(x)＝x2＋2ax＋3的对称轴为x＝－＝－a，所以要使f(x)在[－4,6]上为单调函数，

只需－a≤－4或－a≥6，解得a≥4或a≤－6.

(3)当a＝－1时，f(|x|)＝x2－2|x|＋3

＝其图象如图所示：

∴f(x)在上单调递减，在单调递增。