Question

【题目】在平面直角坐标系 中，椭圆 的中心为坐标原点，左焦点为F1（﹣1，0），离心率．

（1）求椭圆G 的标准方程；

（2）已知直线 与椭圆 交于 两点，直线 与椭圆 交于 两点，且 ，如图所示．

①证明： ；

②求四边形 的面积 的最大值．

Answer 1

【答案】（1） （2）①见解析②

【解析】试题分析：

(1)由题意结合椭圆的性质可求得，则，椭圆方程为;

(2)设出点的坐标：A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），

①联立直线方程与椭圆的方程，结合弦长公式求得弦长，结合|AB|=|CD|得到关于实数m的等式，整理所得的等式可得m1+m2=0；

②由题意求得面积函数，结合均值不等式的结论可知当2k2+1=2m12时，四边形ABCD 的面积S 的最大值为.

试题解析：

（1）设椭圆G的方程为（a＞b＞0）

∵左焦点为F1（﹣1，0），离心率e=．∴c=1，a=，

b2=a2﹣c2=1

椭圆G 的标准方程为：．

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）

①证明：由消去y得（1+2k2）x2+4km1x+2m12﹣2=0

，

x1+x2=，x1x2=；

|AB|==2；

同理|CD|=2，

由|AB|=|CD|得2=2，

∵m1≠m2，∴m1+m2=0

②四边形ABCD 是平行四边形，设AB，CD间的距离d=

∵m1+m2=0，∴

∴s=|AB|×d=2×

=.

所以当2k2+1=2m12时，四边形ABCD 的面积S 的最大值为2