Question

在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量

m

=（cos（A-B），sin（A-B）），向量

n

=（cosB，-sinB），且

m

•

n

=-

4

5

．
（Ⅰ）求sinA的值；
（Ⅱ）若a=9，b=5，求向量

BC

在

BA

方向上的投影．

Answer 1

分析：（I）由向量数量积的坐标运算公式和两角差的余弦公式，化简得

m

•

n

=cosA=-

4

5

，再根据0＜A＜π，利用同角三角函数的平方关系，即可算出sinA的值；
（II）根据正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

的式子，算出sinB=

1

3

，进而得到cosB=

2 2

3

．再根据向量投影的定义加以计算，可得

BC

在

BA

方向上的投影值．

解答：解：（I）∵

m

=（cos（A-B），sin（A-B）），

n

=（cosB，-sinB），
∴由

m

•

n

=-

4

5

，得cos(A-B)cosB-sin(A-B)sinB=-

4

5

，
可得cos[(A-B)+B]=-

4

5

，
即cosA=-

4

5

．
∵0＜A＜π，
∴sinA=

1-cos 2A

=

1-(- 4 5 )2

=

3

5

．
（II）由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

，
可得sinB=

bsinA

a

=

5× 3 5

9

=

1

3

．
∵a＞b可得A＞B，
∴cosB=

1-sin2B

=

1-( 1 3 )2

=

2 2

3

．
∴向量

BC

在

BA

方向上的投影为

|BC|

•cos∠ABC=acosB=9×

2 2

3

=6

2

．

点评：本题着重考查了向量数量积公式、两角差的余弦公式、同角三角函数的基本关系、正弦定理和向量投影的定义等知识，属于中档题．