Question

已知函数f（x）=（

3

sinωx+cosωx）cosωx-

1

2

，其中ω＞0，f（x）的最小正周期为4π．
（Ⅰ）若函数y=g（x）与y=f（x）的图象关于直线x=π对称，求y=g（x）图象的对称中心；
（Ⅱ）若在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且（2a-c）cosB=b•cosC，求f（A）的取值范围．

Answer 1

分析：（I）利用三角恒等变换公式，化简得f（x）=sin（2ωx+

π

6

），根据周期公式算出ω=

1

4

得到f（x）=sin（

1

2

x+

π

6

）．再由轴对称的公式与诱导公式，算出g（x）=f（2π-x）=sin（

1

2

x-

π

6

），进而可得g（x）图象的对称中心坐标．
（II）根据正弦定理化简题中等式，算出cosB=

1

2

，所以B=

π

3

，从而得到A∈（0，

2π

3

）．再根据正弦函数的图象与性质加以计算，即可得到f（A）的取值范围．

解答：解：（I）根据题意，得f（x）=

3

sinωxcosωx+cos²ωx-

1

2

，
∴f（x）=

3

2

sin2ωx+

1

2

cos2ωx=sin（2ωx+

π

6

）
∵f（x）的最小正周期为T=

2π

2ω

=4π，∴ω=

1

4

，得f（x）=sin（

1

2

x+

π

6

）．
∵函数y=g（x）与y=f（x）的图象关于直线x=π对称，
∴g（x）=f（2π-x）=sin[

1

2

（2π-x）+

π

6

]=sin（

1

2

x-

π

6

）．
令

1

2

x-

π

6

=kπ（k∈Z），得x=

π

3

+2kπ（k∈Z），
因此，y=g（x）图象的对称中心为（

π

3

+2kπ，0）（k∈Z）．
（II）由（2a-c）cosB=b•cosC，利用正弦定理得（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC，
∴2sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC=sin（B+C），
由于sin（B+C）=sinA＞0，得cosB=

1

2

，所以B=

π

3

．
因此f（A）=sin（

1

2

A+

π

6

），其中A∈（0，

2π

3

）．
∵

1

2

A-

π

6

∈（

π

6

，

π

2

），∴sin（

1

2

A-

π

6

）∈（

1

2

，1）．
即f（A）的取值范围为（

1

2

，1）．

点评：本题给出正弦型三角函数满足的条件，求函数图象的对称中心，并依此在△ABC中求f（A）的取值范围．着重考查了三角恒等变换、三角函数的图象与性质和正弦定理等知识，属于中档题．