Question

从圆x²-2x+y²-2y+1=0外一点P（3，2）向这个圆作两条切线，则这两条切线夹角的余弦值为

3

5

．

Answer 1

分析：将圆的方程化为标准方程，找出圆心坐标和半径r，设过P的切线方程斜率为k，由P的坐标表示出切线方程，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d，由d=r列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值，确定出两切线夹角的正切值，利用同角三角函数间的基本关系即可求出夹角的余弦值．

解答：解：将圆的方程化为标准方程为（x-1）²+（y-1）²=1，
∴圆心坐标为（1，1），半径r=1，
设过P切线方程的斜率为k，由P（3，2），得到切线方程为y-2=k（x-3），
∴圆心到切线的距离d=r，即

|-2k+1|

k2+1

=1，
解得：k=0或k=

4

3

，
设两直线的夹角为θ，由k的值得到tanθ=

4

3

，
∴cosθ=

1

1+tan2θ

=

3

5

，
则两条切线夹角的余弦值为

3

5

．
故答案为：

3

5

点评：此题考查了同角三角函数间的基本关系，圆的标准方程，点到直线的距离公式，直线的夹角到角的问题，以及直线与圆的位置关系，当直线与圆相切时，圆心到切线的距离等于圆的半径，熟练掌握此性质是解本题的关键．