题目内容
5．若△ABC外接圆的圆心为O，半径为4，$\overrightarrow{OA}$+2$\overrightarrow{AB}$+2$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{0}$，则$\overrightarrow{CA}$在$\overrightarrow{CB}$方向上的投影为（ ）| A． | 1 | B． | $\sqrt{7}$ | C． | $\sqrt{15}$ | D． | 4 |
分析 如图所示，利用向量的三角形法则可得：$\overrightarrow{AO}=\frac{2}{3}（\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}）$，取BC的中点D，连接OD并延长到点E，使得$\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{OD}$，则OD⊥BC，$\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OE}$．可得$\overrightarrow{AO}=\frac{2}{3}\overrightarrow{OE}=\frac{4}{3}\overrightarrow{OD}$，可得$\overrightarrow{OD}$，CD，可得向量$\overrightarrow{CA}$在$\overrightarrow{CB}$方向上的投影．
解答 
解：如图所示，
∵$\overrightarrow{OA}$+2$\overrightarrow{AB}$+2$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{0}$，
∴$\overrightarrow{OA}$+$2（\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}）$+$2（\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}）$=$\overrightarrow{0}$，
∴$\overrightarrow{AO}=\frac{2}{3}（\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}）$，
取BC的中点D，连接OD并延长到点E，使得$\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{OD}$，
则OD⊥BC，$\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OE}$．
∴$\overrightarrow{AO}=\frac{2}{3}\overrightarrow{OE}=\frac{4}{3}\overrightarrow{OD}$，
∴$|\overrightarrow{OD}|$=$\frac{3}{4}|\overrightarrow{AO}|$=3，
∴CD=$\sqrt{O{C}^{2}-O{D}^{2}}$=$\sqrt{7}$．
∴$\overrightarrow{CA}$在$\overrightarrow{CB}$方向上的投影为$\sqrt{7}$，
故选：B．
点评 本题考查了菱形的性质、向量的平行四边形法则、三角形外心的性质、向量的投影、勾股定理、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
| A． | ?x∈R，2x2+x-1≥0 | B． | ?x0∈R，2x02+x0-1＞0 | ||
| C． | ?x∈R，2x2+x-1≠0 | D． | ?x0∈R，2x02+x0-1≤0 |
| A． | ?x∈R，x2+x+1＞0 | B． | ?x∈R，x2+x+1≥0 | ||
| C． | ?x0∈R，x02+x0+1＞0 | D． | ?x0∉R，x02+x0+1＞0 |
| A． | {-1，-2} | B． | {1，2} | C． | {-2，1} | D． | {-1，2} |