Question

复平面内点A对应复数z，点B对应复数为，O为原点，△AOB是面积为的直角三角形，argz∈（0，），求复数z的值．

Answer 1

【答案】分析：由题意知，有两个角可能是直角，针对于两个角展开讨论，当∠AOB=90°时根据复数的对应关系和三角形的面积得到要求的结果，同理当∠ABO=90°时，也可以做出结果．
解答：解：对于那一个角为直角不清楚，需要讨论
∵|OA|=|z|＞||=|OB|，
∴∠A不可能是直角，
∴可能∠AOB=90°或∠ABO=90°．
若∠AOB=90°，示意图如图所示．
∵z与所对应的点关于
实轴对称，
∴argz=45°，
S_△AOB=|OA|•|OB|=|z|•||=|z|²=．于是，|z|=2，
∴z=2（cos45°+isin45°）=+i．

若∠ABO=90°，示意图如图所示．
∵z与所对应的点关于实轴对称，且∠AOB＜90°，故argz=θ＜45°．
令z=r（cosθ+isinθ），则
cos2θ==，sin2θ=，
S_△AOB=|OA|•|OB|•sin2θ
=r•r•=r²=．
∴r=．又cosθ==，
sinθ==，
∴z=（+i）=2+i．
综上所述，z=+i或z=2+i．
点评：本题考查复数的简单运算和复数的几何意义，是一个综合题，这是一个数形结合思想应用的典型题目，是一个中档题．