Question

复平面内点A对应复数z，点B对应复数为

3

5

.

z

，O为原点，△AOB是面积为

6

5

的直角三角形，argz∈（0，

π

2

），求复数z的值．

Answer 1

分析：由题意知，有两个角可能是直角，针对于两个角展开讨论，当∠AOB=90°时根据复数的对应关系和三角形的面积得到要求的结果，同理当∠ABO=90°时，也可以做出结果．

解答：解：对于那一个角为直角不清楚，需要讨论
∵|OA|=|z|＞

3

5

|

.

z

|=|OB|，
∴∠A不可能是直角，
∴可能∠AOB=90°或∠ABO=90°．
若∠AOB=90°，示意图如图所示．
∵z与

.

z

所对应的点关于
实轴对称，
∴argz=45°，
S_△AOB=

1

2

|OA|•|OB|=

1

2

|z|•

3

5

|

.

z

|=

3

10

|z|²=

6

5

．于是，|z|=2，
∴z=2（cos45°+isin45°）=

2

+

2

i．

若∠ABO=90°，示意图如图所示．
∵z与

.

z

所对应的点关于实轴对称，且∠AOB＜90°，故argz=θ＜45°．
令z=r（cosθ+isinθ），则
cos2θ=

|OB|

|OA|

=

3

5

，sin2θ=

4

5

，
S_△AOB=

1

2

|OA|•|OB|•sin2θ
=

1

2

r•

3

5

r•

4

5

=

6

25

r²=

6

5

．
∴r=

5

．又cosθ=

2

=

2 5

5

，
sinθ=

1-cos2θ

=

5

5

，
∴z=

5

（

2 5

5

+

5

5

i）=2+i．
综上所述，z=

2

+

2

i或z=2+i．

点评：本题考查复数的简单运算和复数的几何意义，是一个综合题，这是一个数形结合思想应用的典型题目，是一个中档题．