Question

已知正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁．AB=1，AA₁=2，点E为CC₁中点，点F为BD₁中点．
（1）证明EF为BD₁与CC₁的公垂线；
（2）求点D₁到面BDE的距离．

Answer 1

分析：（1）欲证明EF为BD₁与CC₁的公垂线，只须证明EF分别与为BD₁与CC₁垂直即可，可由四边形EFMC是矩形→EF⊥CC₁．由EF⊥面DBD₁→EF⊥BD₁．
（2）欲求点D₁到面BDE的距离，将距离看成是三棱锥的高，利用等体积法：V_E-DBD1=V_D1-DBE．求解即得．

解答：解：（1）取BD中点M．
连接MC，FM．
∵F为BD₁中点，
∴FM∥D₁D且FM=

1

2

D₁D．
又EC

1

2

CC₁且EC⊥MC，
∴四边形EFMC是矩形
∴EF⊥CC₁．又FM⊥面DBD₁．
∴EF⊥面DBD₁．
∵BD₁?面DBD₁．∴EF⊥BD₁．
故EF为BD₁与CC₁的公垂线．
（Ⅱ）解：连接ED₁，有V_E-DBD1=V_D1-DBE．
由（Ⅰ）知EF⊥面DBD₁，
设点D₁到面BDE的距离为d．
则S△DBE•d=S△DBD1•EF．
∵AA₁=2，AB=1．
∴BD=BE=ED=

2

，EF=

2

2

，
∴S△DBD1=

1

2

•

2

•2=

2

．S△DBE=

1

2

•

3

2

•(

2

)2=

3

2

∴d=

2 × 2 2

3 2

=

2 3

3

故点D₁到平面DBE的距离为

2 3

3

．

点评：本小题主要考查线面关系和四棱柱等基础知识，考查空间想象能力和推理能力．